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二分

本页面将简要介绍二分查找,由二分法衍生的三分法以及二分答案。

二分法

定义

二分查找(英语:binary search),也称折半搜索(英语:half-interval search)、对数搜索(英语:logarithmic search),是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。

过程

以在一个升序数组中查找一个数为例。

它每次考察数组当前部分的中间元素,如果中间元素刚好是要找的,就结束搜索过程;如果中间元素小于所查找的值,那么左侧的只会更小,不会有所查找的元素,只需到右侧查找;如果中间元素大于所查找的值同理,只需到左侧查找。

性质

时间复杂度

二分查找的最优时间复杂度为

二分查找的平均时间复杂度和最坏时间复杂度均为 。因为在二分搜索过程中,算法每次都把查询的区间减半,所以对于一个长度为 的数组,至多会进行 次查找。

空间复杂度

迭代版本的二分查找的空间复杂度为

递归(无尾调用消除)版本的二分查找的空间复杂度为

实现

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int binary_search(int start, int end, int key) {
  int ret = -1;  // 未搜索到数据返回-1下标
  int mid;
  while (start <= end) {
    mid = start + ((end - start) >> 1);  // 直接平均可能会溢出,所以用这个算法
    if (arr[mid] < key)
      start = mid + 1;
    else if (arr[mid] > key)
      end = mid - 1;
    else {  // 最后检测相等是因为多数搜索情况不是大于就是小于
      ret = mid;
      break;
    }
  }
  return ret;  // 单一出口
}
Note

参考 编译优化 #位运算代替乘法,对于 是有符号数的情况,当你可以保证 时,n >> 1n / 2 指令数更少。

最大值最小化

注意,这里的有序是广义的有序,如果一个数组中的左侧或者右侧都满足某一种条件,而另一侧都不满足这种条件,也可以看作是一种有序(如果把满足条件看做 ,不满足看做 ,至少对于这个条件的这一维度是有序的)。换言之,二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大(最小)的值。

要求满足某种条件的最大值的最小可能情况(最大值最小化),首先的想法是从小到大枚举这个作为答案的「最大值」,然后去判断是否合法。若答案单调,就可以使用二分搜索法来更快地找到答案。因此,要想使用二分搜索法来解这种「最大值最小化」的题目,需要满足以下三个条件:

  1. 答案在一个固定区间内;
  2. 可能查找一个符合条件的值不是很容易,但是要求能比较容易地判断某个值是否是符合条件的;
  3. 可行解对于区间满足一定的单调性。换言之,如果 是符合条件的,那么有 或者 也符合条件。(这样下来就满足了上面提到的单调性)

当然,最小值最大化是同理的。

STL 的二分查找

C++ 标准库中实现了查找首个不小于给定值的元素的函数 std::lower_bound 和查找首个大于给定值的元素的函数 std::upper_bound,二者均定义于头文件 <algorithm> 中。

二者均采用二分实现,所以调用前必须保证元素有序。

bsearch

bsearch 函数为 C 标准库实现的二分查找,定义在 <stdlib.h> 中。在 C++ 标准库里,该函数定义在 <cstdlib> 中。qsort 和 bsearch 是 C 语言中唯二的两个算法类函数。

bsearch 函数相比 qsort(排序相关 STL)的四个参数,在最左边增加了参数「待查元素的地址」。之所以按照地址的形式传入,是为了方便直接套用与 qsort 相同的比较函数,从而实现排序后的立即查找。因此这个参数不能直接传入具体值,而是要先将待查值用一个变量存储,再传入该变量地址。

于是 bsearch 函数总共有五个参数:待查元素的地址、数组名、元素个数、元素大小、比较规则。比较规则仍然通过指定比较函数实现,详见 排序相关 STL

bsearch 函数的返回值是查找到的元素的地址,该地址为 void 类型。

注意:bsearch 与上文的 lower_bound 和 upper_bound 有两点不同:

  • 当符合条件的元素有重复多个的时候,会返回执行二分查找时第一个符合条件的元素,从而这个元素可能位于重复多个元素的中间部分。
  • 当查找不到相应的元素时,会返回 NULL。

用 lower_bound 可以实现与 bsearch 完全相同的功能,所以可以使用 bsearch 通过的题目,直接改写成 lower_bound 同样可以实现。但是鉴于上述不同之处的第二点,例如,在序列 1、2、4、5、6 中查找 3,bsearch 实现 lower_bound 的功能会变得困难。

利用 bsearch 实现 lower_bound 的功能比较困难,是否一定就不能实现?答案是否定的,存在比较 tricky 的技巧。借助编译器处理比较函数的特性:总是将第一个参数指向待查元素,将第二个参数指向待查数组中的元素,也可以用 bsearch 实现 lower_bound 和 upper_bound,如下文示例。只是,这要求待查数组必须是全局数组,从而可以直接传入首地址。

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int A[100005];  // 示例全局数组

// 查找首个不小于待查元素的元素的地址
int lower(const void *p1, const void *p2) {
  int *a = (int *)p1;
  int *b = (int *)p2;
  if ((b == A || compare(a, b - 1) > 0) && compare(a, b) > 0)
    return 1;
  else if (b != A && compare(a, b - 1) <= 0)
    return -1;  // 用到地址的减法,因此必须指定元素类型
  else
    return 0;
}

// 查找首个大于待查元素的元素的地址
int upper(const void *p1, const void *p2) {
  int *a = (int *)p1;
  int *b = (int *)p2;
  if ((b == A || compare(a, b - 1) >= 0) && compare(a, b) >= 0)
    return 1;
  else if (b != A && compare(a, b - 1) < 0)
    return -1;  // 用到地址的减法,因此必须指定元素类型
  else
    return 0;
}

因为现在的 OI 选手很少写纯 C,并且此方法作用有限,所以不是重点。对于新手而言,建议老老实实地使用 C++ 中的 lower_bound 和 upper_bound 函数。

二分答案

解题的时候往往会考虑枚举答案然后检验枚举的值是否正确。若满足单调性,则满足使用二分法的条件。把这里的枚举换成二分,就变成了「二分答案」。

Luogu P1873 砍树

伐木工人米尔科需要砍倒 米长的木材。这是一个对米尔科来说很容易的工作,因为他有一个漂亮的新伐木机,可以像野火一样砍倒森林。不过,米尔科只被允许砍倒单行树木。

米尔科的伐木机工作过程如下:米尔科设置一个高度参数 (米),伐木机升起一个巨大的锯片到高度 ,并锯掉所有的树比 高的部分(当然,树木不高于 米的部分保持不变)。米尔科就得到树木被锯下的部分。

例如,如果一行树的高度分别为 ,米尔科把锯片升到 米的高度,切割后树木剩下的高度将是 ,而米尔科将从第 棵树得到 米木材,从第 棵树得到 米木材,共 米木材。

米尔科非常关注生态保护,所以他不会砍掉过多的木材。这正是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。你的任务是帮助米尔科找到伐木机锯片的最大的整数高度 ,使得他能得到木材至少为 米。即,如果再升高 米锯片,则他将得不到 米木材。

解题思路

我们可以在 中枚举答案,但是这种朴素写法肯定拿不到满分,因为从 枚举到 太耗时间。我们可以在 的区间上进行二分作为答案,然后检查各个答案的可行性(一般使用贪心法)。这就是二分答案。

参考代码
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int a[1000005];
int n, m;

bool check(int k) {  // 检查可行性,k 为锯片高度
  long long sum = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++)       // 检查每一棵树
    if (a[i] > k)                    // 如果树高于锯片高度
      sum += (long long)(a[i] - k);  // 累加树木长度
  return sum >= m;                   // 如果满足最少长度代表可行
}

int find() {
  int l = 1, r = 1e9 + 1;   // 因为是左闭右开的,所以 10^9 要加 1
  while (l + 1 < r) {       // 如果两点不相邻
    int mid = (l + r) / 2;  // 取中间值
    if (check(mid))         // 如果可行
      l = mid;              // 升高锯片高度
    else
      r = mid;  // 否则降低锯片高度
  }
  return l;  // 返回左边值
}

int main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
  cout << find();
  return 0;
}

看完了上面的代码,你肯定会有两个疑问:

  1. 为何搜索区间是左闭右开的?

    因为搜到最后,会这样(以合法的最大值为例):

    然后会

    合法的最小值恰恰相反。

  2. 为何返回左边值?

    同上。

三分法

引入

如果需要求出单峰函数的极值点,通常使用二分法衍生出的三分法求单峰函数的极值点。

为什么不通过求导函数的零点来求极值点?

客观上,求出导数后,通过二分法求出导数的零点(由于函数是单峰函数,其导数在同一范围内的零点是唯一的)得到单峰函数的极值点是可行的。

但首先,对于一些函数,求导的过程和结果比较复杂。

其次,某些题中需要求极值点的单峰函数并非一个单独的函数,而是多个函数进行特殊运算得到的函数(如求多个单调性不完全相同的一次函数的最小值的最大值)。此时函数的导函数可能是分段函数,且在函数某些点上可能不可导。

注意

只要函数是单峰函数,三分法既可以求出其最大值,也可以求出其最小值。为行文方便,除特殊说明外,下文中均以求单峰函数的最小值为例。

三分法与二分法的基本思想类似,但每次操作需在当前区间 (下图中除去虚线范围内的部分)内任取两点 (下图中的两蓝点)。如下图,如果 ,则在 (下图中的红色部分)中函数必然单调递增,最小值所在点(下图中的绿点)必然不在这一区间内,可舍去这一区间。反之亦然。

注意

在计算 时,需要防止数据溢出的现象出现。

三分法每次操作会舍去两侧区间中的其中一个。为减少三分法的操作次数,应使两侧区间尽可能大。因此,每一次操作时的 分别取 是一个不错的选择。

实现

伪代码

C++

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while (r - l > eps) {
  mid = (l + r) / 2;
  lmid = mid - eps;
  rmid = mid + eps;
  if (f(lmid) < f(rmid))
    r = mid;
  else
    l = mid;
}

例题

洛谷 P3382 -【模板】三分法

给定一个 次函数和范围 ,求出使函数在 上单调递增且在 上单调递减的唯一的 的值。

解题思路

本题要求求 次函数在 取最大值时自变量的值,显然可以使用三分法。

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#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;

constexpr double eps = 1e-7;
int N;
double l, r, A[20], mid, lmid, rmid;

double f(double x) {
  double res = (double)0;
  for (int i = N; i >= 0; i--) res += A[i] * pow(x, i);
  return res;
}

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  cin >> N >> l >> r;
  for (int i = N; i >= 0; i--) cin >> A[i];
  while (r - l > eps) {
    mid = (l + r) / 2;
    lmid = mid - eps;
    rmid = mid + eps;
    if (f(lmid) > f(rmid))
      r = mid;
    else
      l = mid;
  }
  cout << fixed << setprecision(6) << l;
  return 0;
}
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eps = 1e-6
n, l, r = map(float, input().split())
a = tuple(map(float, input().split()))[::-1]


def f(x):
    return sum(x**i * j for i, j in enumerate(a))


while r - l > eps:
    mid = (l + r) / 2
    if f(mid - eps) > f(mid + eps):
        r = mid
    else:
        l = mid
print(l)

习题

分数规划

参见:分数规划

分数规划通常描述为下列问题:每个物品有两个属性 ,要求通过某种方式选出若干个,使得 最大或最小。

经典的例子有最优比率环、最优比率生成树等等。

分数规划可以用二分法来解决。